\subsection{连续与间断}

	\begin{ti}
		当 $x \in \left( -\frac{1}{2},1 \right]$ 时，确定函数 $f(x) = \frac{\tan \uppi x}{|x|\left( x^{2} - 1 \right)}$ 的间断点，并判定其类型.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		确定函数 $f(x) = \frac{x(x - 1)}{|x| x^{2} - |x|}$ 的间断点，并判定其类型.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$，
		\[
			A(x) = \begin{cases}
				\left( \frac{a^{x} + b^{x}}{2} \right)^{\frac{1}{x}}, & x \ne 0,\\
				c, & x = 0.
			\end{cases}
		\]
		\begin{enumerate}
			\item 讨论 $A(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性;
			\item 讨论 $\lim_{x \to +\infty} A(x)$，$\lim_{x \to -\infty} A(x)$，$\lim_{x \to 0} A(x)$，$A(-1)$，$A(1)$ 五者之间的大小关系.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $f(x) = \frac{1}{1 - \ee^{\frac{x}{1 - x}}}$ 的连续区间、间断点，并判别间断点的类型.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求函数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+2} - x^{-n}}{x^{n} + x^{-n}}$ 的间断点并指出其类型.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		若
		\[
			f(x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\lambda - \ee^{-kx}}
		\]
		在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$，则\kuo.
		
		\twoch{$\lambda < 0, k < 0$}{$\lambda < 0, k > 0$}{$\lambda \geq 0, k < 0$}{$\lambda \leq 0, k > 0$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		若
		\[
			f(x) = \begin{cases}
				\ee^{x} (\sin x + \cos x), & x > 0,\\
				2x + a, & x \leq 0
			\end{cases}
		\]
		 是 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数，则 $a =$\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		试讨论函数 $g(x) = \begin{cases}
			x^{\alpha} \sin\frac{1}{x}, & x > 0,\\
			\ee^{x} + \beta, & x \leq 0
		\end{cases}$ 在点 $x = 0$ 处的连续性.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求函数 $F(x) = \begin{cases}
			\frac{x(\uppi + 2x)}{2 \cos x}, & x \leq 0,\\
			\sin\frac{1}{x^{2} - 1}, & x > 0
		\end{cases}$ 的间断点，并判断它们的类型.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x) = \lim_{n \to \infty}\frac{\ee^{\frac{1}{x}} \arctan\frac{1}{1 + x}}{x^{2} + \ee^{nx}}$，求 $f(x)$ 的间断点并判定其类型.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x) = \begin{cases}
			\ee^{\frac{1}{x - 1}}, & x > 0,\\
			\ln(1 + x), & -1 < x < 0,
		\end{cases}$ 求 $f(x)$ 的间断点，并说明间断点的类型.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x;t) = \left( \frac{x - 1}{t - 1} \right)^{\frac{t}{x - t}}((x - 1)(t - 1)>0, x \ne t)$，函数 $f(x)$ 由表达式
		\[
			f(x) = \lim_{t \to x}f(x;t)
		\]
		确定，求 $f(x)$ 的连续区间和间断点，并判定间断点的类型.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\cdots$ 是 $[a,b]$ 上的一个点列，求 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ee^{f(x_{k})}}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		\begin{enumerate}
			\item 求函数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + (2x)^{n} + x^{2n}}(x \geq 0)$ 的表达式;
			\item 讨论函数 $f(x)$ 的连续性.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		已知 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n-1} + ax^{2} + bx}{x^{2n} + 1}$ 是连续函数，求 $a,b$ 的值.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求函数 $f(x) = \frac{x^{3} + 1}{|x + 1|\left( x^{2} - x \right)} \sin\left( \frac{|x - 1|}{x + 2}\uppi \right)$ 的所有间断点，并判断它们的类型.
	\end{ti}